Espacios Vectoriales en VRML – Augusto Ayala
Ledesma
Desde
que estaba estudiando siempre me han agradado las matemáticas y sus aplicaciones.
Voy a presentarles aquí un interesante proyecto que realicé durante mis años
de estudiante. Dentro de mis cursos de Ingeniería en Sistemas
Computacionaes en el Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey,
Campus Querétaro (ITESM Campus Querétaro
para abreviar), estaba la materia de Matemáticas Avanzadas para Ingeniería. Dentro
de este curso revisamos el tema de Espacios Vectoriales, el cual consiste en
plantear por medio de 3 ecuaciones el comportamiento de los sectores i, j y k
de un vector en cada uno de los puntos de un espacio de 3 dimensiones. Para
entenderlo mejor lo explicaré tal cual como me lo dijo mi profesor: “imaginen
que están viendo un canal transparente por el que corre una corriente de agua,
encima una persona toma una hoja seca, la hace pequeños pedazos con sus manos
y la tira sobre el canal de agua. Podremos observar como cada pedazo de hoja
sigue una trayectoria, velocidad y sentido de acuerdo a las corrientes del
agua que la arrastran. Ahora bien, si pudiéramos congelar esa imagen en un
instante y pudiéramos representar la velocidad de cada hoja por medio de un
vector, el resultado sería una ‘lluvia’ de vectores cada uno con una dirección,
un sentido y una longitud diferentes,
esto es un espacio vectorial.” Cada
uno de los vectores del espacio vectorial contienen una componente i, una j,
una k y un punto de origen los define en el espacio tridimensional. Si encontramos
3 ecuaciones en términos de [x,y,z] que cada una definan el comportamiento de
las componentes i, j y k respectivamente, entonces estaremos en posición de
encontrar las características de un vector en cualquier punto del espacio tridimensional.
Haciendo
la similitud con el ejemplo, si conociéramos las ecuaciones que rigen el
espacio vectorial del torrente de agua en el canal, podríamos conocer la longitud,
dirección y sentido del vector velocidad en cualquier punto (x,y,z) del
canal. Sinceramente,
me costaba mucho esfuerzo crear en mi mente una imagen del comportamiento de
un espacio vectorial viendo las 3 ecuaciones, por lo que decidí hacer un
proyecto que me permitiera ver el resultado en 3 dimensiones. En
otra materia me enseñaron los principios del lenguaje VRML (Virtual Reality Modeling Language) y
desarrollé un sistema muy sencillo para mostrar en 3D el resultado de las operaciones
entre 2 vectores (Suma, Resta, Producto Punto y Producto Cruz) dadas las
componentes i, j y k de los vectores. Aproveché este trabajo anterior, para
crear un sistema que permitiera generar los vectores de un espacio vectorial
dadas 3 ecuaciones y la definición de una “malla” (versión en 3D de una cuadrícula). El
resultado de un semestre de intenso trabajo fue un sistema muy vistoso que
permitía generar archivos .wrl, que pueden ser visualizados por un navegador
con un plug-in para VRML. Seguramente se preguntarán..¿En que se diferencia mi sistema de otros sistemas
para graficar espacios vectoriales y para que hacerlo en VRML?, pues la
respuesta es que con VRML uno puede “volar” dentro del mundo virtual, es
decir que uno ve esa lluvia de
vectores y puede virtualmente moverse entre ellos, seguir la evolución del
comportamiento en cada eje del cartesiano y si lo desea uno sentarse sobre el
vector más lejano y “voltear” a ver el plano cartesiano y el resto de los
vectores. Tengo
algunos ejemplos de los mundos virtuales generados por mi sistema, en un
futuro (cuando mi trabajo y mi maestría me lo permita) crearé una versión Web
para que desde internet la gente pueda escribir sus propias ecuaciones,
definir las “mallas” y puedan generar
estos mundos virtuales, Tengo
algunos ejemplos creados por mi sistema, para que puedan entender de que
estoy hablando, algunos son pesados por lo que les recomiendo que guarden el
archivo y luego lo visualicen (dependiendo de su máquina se tardará mucho o no el render).
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